Ez minden idők legnehezebb logikai fejtörője? Elképzelhető, és volt is, aki így nevezte a három-isten problémát, amely eredetileg a Harvard Business Review-ben jelent meg 1996-ban. A feladatot Raymond Smullyan matematikus, a „logikai fejtörők vitathatatlan mestere” dolgozta ki. George Boolos, Smullyan kollégája és az MIT professzora pedig ezt, tehát a három-isten problémát egyenesen minden idők legnehezebb fejtörőjének nevezte.

Mielőtt azonban rátérnénk magára a feladatra, ismerkedjünk meg annak atyjával, Raymond Smullyannel! Smullyan 1919-ben született New Yorkban és 2017-ben halt meg, és nem csak matematikával, valamint logikával foglalkozott, de rengeteg, logikai feladványokkal teli könyvet is írt kifejezetten a nagyközönség számára, amelyek nem csak szórakoztatóak voltak, de egyben megismertették az embereket komplex filozófiai problémákkal is. Smullyan emellett képzett bűvész is volt, jól játszott a zongorán és amatőr csillagászként sajét magának épített teleszkópot. A logika mellett rajongott a taoista filozófiáért is. Szóval ha maradtak a huszadik századra még reneszánsz emberek, Smullyan kétségtelenül egy volt közülük.

Most pedig térjünk tehát rá a világ egyik (vagy A) legnehezebb logikai fejtörőjére, amely az elején egyébként még ismerős is lehet:

Létezik három isten, A, B és C, akiket nem feltétlen ebben a sorrendben Igaznak, Hamisnak és Véletlenszerűnek neveznek. Igaz mindig igazat mond, Hamis mindig hamis állítást tesz, Véletlenszerű pedig véletlenszerűen vált az igaz és a hamis állítások közt. A feladatunk tehát, hogy beazonosítsuk ezeket az isteneket – A-t, B-t és C-t – úgy hogy felteszünk három olyan kérdést, melyekre igent vagy nemet lehet válaszolni. Minden kérdést csak egy adott istennek címezhetünk, de egy istent többször is kérdezhetünk. Nagyjából eddig a pontig lehet ismerős a feladat a többségnek, ezután viszont akad benne egy csavar: az istenek értenek angolul (vagy legalábbis a feladat megoldójának a nyelvén), de a választ a saját nyelvükön adják, ami lehet tehát igen vagy nem, az isteni nyelven pedig „da” vagy „ja” – de nem tudjuk, hogy ezek közül melyik jelenti az igent és melyik a nemet.

Smullyan kedvelt nézete volt, hogy az emberek többsége nem szereti a matematikát, de érdekes mód kedvelik a logikai fejtörőket, amelyek valójában matematikai problémák másként megfogalmazva. Boolos, aki előállt egy megoldással, pedig épp ezen a vonalon indult el, és egy logikai eszközt, a kétfeltételes állítást hívta segítségül – ez tehát egy logikai állítás, amely tartalmazza a „ha és csak akkor, ha” (angolul: „if, and only if”) kifejezést, és ezt néha „iff”-nek is rövidítik. Vegyük észre tehát, hogy ez egy logikai állítás, és nem úgy működik, mint egy egyszerű mondat, sokkal inkább, mint egy algoritmus (a mélyszerkezetben egyébként az összes nyelvtan így működik, de ebbe most ne menjünk bele!), tehát a fontos most az állítás két komponensének az igazságtartalma, nem pedig a köztük lévő kapcsolat. Emiatt az állítás csak akkor igaz, ha mindkét összetevője igaz, vagy mindkettő hamis. Ha az egyik igaz, a másik hamis, akkor hamis állítást kapunk.

Ez első pillantásra ellene megy a „hétköznapi logikának”, épp ezért nézzünk egy példát! Ha azt mondom, hogy „a hold sajtból készült ha és csak akkor, ha Róma Oroszországban van”, akkor ez egy igaz állítás, mivel mindkét fele hamis. Az az állítás, hogy a „Holdnak nincs légköre akkor és csak akkor, ha Róma Olaszországban van” pedig szintén igaz, mivel mindkét komponens igaz. Ha viszont azt mondom, hogy a Hold sajtból készült akkor és csak akkor, ha Magyarország fővárosa Budapest, akkor egy hamis állítást kapok. Természetesen az állítások kettőnél több komponensből is állhatnak. Boolos megoldása ennek megfelelően úgy indul, hogy a következő kérdést tesszük fel az A istennek:

A „da” igent jelent akkor és csak akkor, ha te vagy Igazság, és csak akkor, ha B Véletlenszerű?

Független attól, hogy milyen választ kapunk, fontos információhoz jutunk, mint Boolos elmondja:

„Ha A Igaz vagy Hamis, és a da választ kapjuk, akkor amint láttuk, B Véletlenszerű, és ezért C vagy Igaz vagy Hamis; de ha A Igaz vagy Hamis, és a ja választ kapjuk, akkor B nem Véletlenszerű, tehát B vagy Igaz vagy Hamis… ha A Véletlenszerű és megkapjuk a da választ, akkor C nem Véletlenszerű (B sem, de ez irreleváns), ezért C értéke igaz vagy hamis lehet; és ha A Véletlenszerű… és azt a választ kapjuk, hogy ja, B nem Véletlenszerű (C sem, de ez lényegtelen), és ezért B vagy Igaz vagy Hamis.”

Nem számít tehát, hogy A melyik isten, a „da” válasz esetén C nem Véletlenszerű, a „ja” válasz pedig ugyanezt jelenti B számára. Ezután azokkal az istenekkel kell folytatnunk, akikről tudjuk, hogy nem a Véletlenszerű. Boolos a következő kérdést javasolja:

A da igent jelent akkor és csak akkor, ha Róma Olaszországban van?

Mivel az állítás egyik komponense biztosan igaz (Róma tényleg Olaszországban van), ezért, ha az igen valóban da, akkor Igaz erre da-t, Hamis viszont ja-t válaszolna. A harmadik, utolsó kérdés (ugyanannak az istennek kell feltenni, akinek az előző kérdést) pedig ez lehetne:

A da igent jelent akkor és csak akkor, ha A Véletlenszerű?

Ezzel az utolsó kérdéssel, és kizárásos alapon végül pontosan beazonosíthatjuk az isteneket.

Források: Big Think, Yahoo

(Kép: Flickr/Shinya Suzuki)