A pi-t akkor kapjuk meg, ha egy kör kerületét elosztjuk az átmérőjével. Ez a viszony azonban minden körre állandó, vagyis a pi univerzális konstans a geometriában. Mivel pedig március 14. hivatalosan is a pi-napja, ezért megosztunk pár érdekességet erről a valóban varázslatos számról. Először is, mik a pi tulajdonságai?

A pi egy irracionális szám, vagyis nem fejezhető ki két egész szám hányadosaként. Emiatt a pi tizedesvessző utáni számai végtelenek és nem ismétlődnek.

Továbbá a pi egy transzcendens szám is, vagyis nem algebrai szám, amely így tehát nem gyöke egész együtthatós polinomnak. Mindez elég egzotikusan hangzik, de valójában a transzcendens számokból végtelen sok akad, vagyis “több” transzcendens szám létezik, mint algebrai szám, a gyakorlatban azonban nehéz rájuk konkrét példákat találni. A pi egyébként a legismertebb transzcendens számok közé tartozik (a másik ilyen híresség az e, a természetes logaritmus alapja). Azt pedig Ferdinand von Lindemann bizonyította be 1882-ben, hogy a pi transzcendens.

A pi tizedesvessző utáni számjegyeit már több tízbillió jegyre számolták ki, ami lenyűgöző teljesítmény a számítógépes technológia és az algoritmusok fejlődésének köszönhető.

A pi egyébként nem mindig volt pi – az 1700-as évek előtt az általunk ismert pi számot úgy emlegették, mint “az a mennyiség, amely az átmérőt megszorozva a kerületet adja”. Végül William Jones walesi matematikus, Sir Isaac Newton barátja, 1706-ban kezdte használni a pi szimbólumot, ami némileg egyszerűbbé tehette az életét azoknak, akik ezzel az állandóval valamiért kapcsolatba kerültek.

Történelem

Az ókori egyiptomiak és babiloniak már i.e. 2000 körül is használták a pi közelítő értékeit építkezésekhez és geometriai számításokhoz, bár akkoriban még nem ismerték a mai értelemben vett pi értékét. Ezek a korai civilizációk tehát közelítő értékeket használtak, amelyek ugyanakkor meglepően pontosak voltak az akkori mérési technikákhoz képest.

Az első ismert algoritmus, ami a pi pontos számítására irányult, Arkhimédész nevéhez fűződik. Arkhimédész az úgynevezett kimerítési módszert alkalmazva számolta ki a pi-t, amikor is szabályos sokszögek segítségével becsülte meg a kör kerületét. Az általa használt módszer lehetővé tette, hogy a pi értékét i.e. 3. században 3,141 és 3,142 közé szorítsa, ami rendkívüli matematikai teljesítménynek számított az akkori időkben.

A későbbi évszázadokban számos más matematikus is hozzájárult a pi pontosabb megértéséhez és kiszámításához a középkori iszlám tudósoktól kezdve, az indiai matematikusokon át egészen reneszánsz Európa ismert alakjaiig, mint Leonardo da Vinci és Albrecht Dürer. A pi így nem csak szám, de kultúrákat, civilizációkat és történelmeket köt össze – és a pi így vezetett el a mai napig használt matematikai analízisig és a számítógépes algoritmusokig.

A modern pi

Srínivásza Rámánudzsan, az indiai matematikai zseni, számos rendkívüli képletet fejlesztett ki, amelyek a pi számításának hatékonyságát növelték méghozzá jelentősen. Munkája egy új dimenziót nyitott meg a pi megközelítésében, és lehetővé tette a matematikusok számára, hogy a pi-t sokkal nagyobb pontossággal és hatékonysággal számolják ki, mint korábban.

Rámánudzsan egyik legismertebb hozzájárulása a pi-kiszámításához a Rámánudzsan-sorozat, amely a pi egy gyorsan konvergáló sorozata. Ezek a sorok lehetővé teszik a pi tizedesvessző utáni számjegyeinek gyors számítását, olyan hatékonysággal, amely korábban elképzelhetetlen volt. Egyes Rámánudzsan által kifejlesztett formulák már az első néhány tag után is rendkívül pontos közelítést adnak a pi értékére, ami jelentősen csökkenti a számításokhoz szükséges időt és erőforrást. Épp ezért Rámánudzsan hatása ma is tapintható, különösen a számítógépes algoritmusok területén, ahol a pi értékének számítására irányuló kutatások továbbra is fontosak.

A pi és a számítógépek

A Chudnovsky testvérek, Gregory és David, matematikusok, kulcsfontosságú szerepet játszottak abban, hogy a pi értékének számítása előtt új kapu nyíljon meg az 1980-as és 1990-es években.

A testvérek a saját otthonukban építettek egy szuperkomputert, amit arra használtak, hogy a pi tizedesvessző utáni számjegyeit számítsák ki. Ezek a korai kísérletek úttörőnek számítottak, és segítettek abban, hogy a pi ismert számjegyeinek száma a milliárdokig nőjön. A Chudnovsky testvérek által használt algoritmus, ami a Rámánudzsan által először leírt formulákra épült, lehetővé tette a számukra, hogy rekordmennyiségű számjegyet számítsanak ki.

A Chudnovsky testvérek munkája világított rá igazán arra, hogy a komplex matematikai problémák megoldása milyen mértékben függ a számítástechnikai hardver fejlődésétől és az algoritmusok újszerű alkalmazásától.

A titokzatos pi

A pi tehát egy geometriai állandó, de ennek ellenére a legmeglepőbb helyeken köszön vissza. A modern digitális korszakban, ahol az adatvédelem és a biztonság központi szerepet játszik, a rejtélyes és végtelen pi új alkalmazási területet talált magának – a kriptográfiában jutott szerephez.

A pi egyik érdekes felhasználási módja ugyanis a pszeudovéletlenszám-generátorokban (PRNG) jelenik meg. A pi tizedesvessző utáni számjegyeinek látszólagos véletlenszerűsége és végtelensége teszi ideális jelöltté a kriptográfiai algoritmusokban használt pszeudovéletlen sorozatok generálásához. Bár a pi számjegyei ténylegesen determinisztikusak (mivel minden számítás ugyanazt az eredményt adja), a nagy számú számjegy és a látszólagos véletlenszerű eloszlásuk miatt hasznosak lehetnek bizonyos típusú kódolási feladatokban.

A pi tizedesvessző utáni számjegyeinek használata a PRNG-kben segíthet a kriptográfiai kulcsok generálásában, ami létfontosságú a titkosított kommunikációhoz és az adattároláshoz. Az ilyen típusú generátorok által létrehozott véletlenszerű számokat használhatják titkosítási kulcsok, session kulcsok generálására vagy a digitális aláírások véletlenszerűségének biztosítására is akár.

A kozmikus pi

A másik meglepő terület maga a végtelen, tehát az univerzum: a pi ugyanis meglepő módon előkerül a kvantumfizika egyik alapvető egyenletében, a Heisenberg-féle határozatlansági relációban is.

A Heisenberg-féle határozatlansági reláció kimondja, hogy lehetetlen egy részecske helyzetét és impulzusát (vagy sebességét) egyidejűleg tetszőleges pontossággal meghatározni. A reláció matematikai formája tartalmazza a pi-t, ami hozzájárul ahhoz, hogy kifejezze a fizikai világ ezen alapvető korlátját. Vagyis, mint ez az egyenlet példa rá, a pi nem csak a geometriában játszik kulcsszerepet, hanem a kvantummechanika és a részecskék viselkedésének a megértésében is fontos.

A pi tehát több mint egy végtelen szám, vagy egy állandó, amit fajunk évezredek óta használ: jelen van a világegyetem alapvető törvényeiben, és összeköti a matematika tiszta világát a bonyolult és gyakran meglepő fizikai valósággal.

(Források: Inquirer, NBCNews, Piday, Winsorconsulting, WIKI_1, WIKI_2, WIKI_3, WIKI_4, kép: Pixabay/geralt)