A matematika rejtélye

Régóta rejtély, hogy a tiszta matematika miért tudja ilyen jelentős mértékben leírni a fizikai világ természetét. Az antianyagot Paul Dirac egyenleteiben fedezték fel, mielőtt detektálták volna a kozmikus sugarakban. A kvarkok Murray Gell-Mann egy szalvéta-vázlataiban tűntek fel először, néhány évvel azelőtt, hogy kísérletileg megerősítették volna őket. Einstein gravitációs egyenletei azt sugallták, hogy az univerzum tágul, egy évtizeddel azelőtt, hogy Edwin Hubble igazolta volna. Einstein matematikája egy teljes évszázaddal jelezte előre a gravitációs hullámokat is, mielőtt hatalmas készülékeink észlelték volna a fekete lyukak ütközése létrehozta jelenséget, és ez utóbbiak létezésére is Einstein matematikájából következtettünk először.

Eugene Wigner Nobel-díjas fizikus, így utalt a matematika rejtélyes erejére: „a matematika ésszerűtlen hatékonysága a természettudományokban."

"Valahogy, - mondta Wigner, - az ismert jelenségek magyarázatára kidolgozott matematika a még nem tapasztalt jelenségekre is mutat utalásokat - a matematika több adatot ad ki, mint amennyit betáplálunk."

"A matematika óriási hasznossága a természettudományokban a rejtélyessel határos, és… egyszerűen nincs ésszerű magyarázat erre” - írta Wigner 1960-ban. 

Kvantum nyomozás

De most talán találtunk egy új nyomot arra nézvést, hogy mi lehet ennek magyarázata. A matematika sajátos erejének a fizikai világ leírására talán köze lehet ahhoz a tényhez, hogy a fizikai világnak is van mit mondani a matematikáról. Legalábbis ez az elképzelhető következtetése egy olyan új tanulmánynak, amely megrázta a matematika, a számítógépes tudomány és a kvantumfizika összekapcsolt világát.

Sydney Technológiai egyetemének informatikai tudósa Zhengfeng Ji és munkatársai egy rendkívül bonyolult, 165 oldalas tanulmányban olyan eredményt mutattak be, amely a matematika, a számítástechnika és a valósággal való kapcsolatuk legmélyebb kérdéseit feszegeti. Egy olyan folyamatról van szó, mellyel a rendkívül összetett matematikai feltevések megoldásait lehet ellenőrizni, még azokét is, amelyekről azt gondolták, hogy lehetetlen megoldani őket. 

Az új megállapítás lényege a végtelen és a szinte végtelen közötti hatalmas szakadék demonstrálása, amely óriási hatással lehet bizonyos magas szintű matematikai problémákra.

Ennek a szakadéknak a felderítéséhez pedig szükség van a kvantumfizika titokzatos erejére. Bárki, aki benne van, régóta tudja, hogy néhány matematikai problémát túl nehéz megoldani (legalábbis korlátlan idő nélkül), ám egy tetszőleges, javasolt megoldást rájuk, meglehetősen könnyű ellenőrizni. 

Rövidítő utak

Tegyük fel, hogy valaki azt állítja, hogy van válasza egy ilyen nagyon nehéz problémára. A bizonyítás túl hosszú ahhoz, hogy soronként ellenőrizhessék.

Ellenőrizhetjük-e a bizonyítást pusztán azáltal, hogy felteszünk néhány kérdést a bizonyítónak? A válasz: néha igen. (Bár a nagyon bonyolult bizonyítások esetén valószínűleg nem.)

Ha azonban két bizonyító is létezik, mindkettő a levezetés birtokában, néhány kérdést feltéve mindkettőjüknek, már lehetővé teheti a számunkra, hogy ellenőrizzük a bizonyítás helyességét (legalábbis nagyon nagy valószínűséggel). Van persze egy buktató ebben, - a bizonyítókat el kell szeparálni egymástól, hogy ne tudjanak kommunikálni, és így összejátszani a kérdéseik megválaszolásának során. Ezt a megközelítést MIP-nek, azaz “multiprover interactive proofnak” hívják.

A bizonyítás ellenőrzése anélkül, hogy valójában látnánk, nem is olyan furcsa ötlet. Számos példa létezik arra, hogy egy bizonyítást végző meggyőzhet bennünket  arról, hogy tudja a problémára adott választ, anélkül hogy ténylegesen elmondta volna a szóban forgó választ.

Titkosítás

Titkosított üzenetek kódolásának standard módszere például egy nagyon nagy szám (akár több száz számjegy hosszúságban) használata az üzenet kódolásához. Az üzenetet ezek után csak azt dekódolhatja, aki ismeri azokat a prím-tényezőket,  amelyek ha összeszorozzuk őket, eredményül a felhasznált nagyon nagy számot adják. Még szuperszámítógépek seregével sem lehet kitalálni ezeket a prímszámokat (az univerzumunk létezéséből hátralévő időben legalábbis). Tehát, ha valaki mégis dekódolta az így titkosított üzenetet, bebizonyította nekünk, hogy ismeri a használt prímeket, de anélkül, hogy el kellett volna mondania, melyek voltak azok.

Egy nap azonban elvégezhető lesz ezeknek a prímeknek a kiszámítása is, egy “jövő” generációs kvantumszámítógéppel. A mai kvantumszámítógépek egyelőre viszonylag kezdetlegesek, de elvben, egy fejlettebb modell feltörhet kódokat is, ha kiszámítja a rendkívül nagy számok prím-tényezőit. 

Ez az erő, - legalábbis részben - a kvantum összefonódásnak nevezett furcsa jelenségből fakad. A helyzet az, hogy hasonlóképpen, a kvantum-összefonódás növeli a MIP-bizonyítások erejét. Végtelen mennyiségű kvantumösszefonódás megosztásával a MIP-bizonyítók sokkal bonyolultabb bizonyításokat tudnak leellenőrizni, mint a nem-kvantumos MIP-bizonyítók.

Kötelező hozzátenni, hogy a kvantumösszefonódás az, amit Einstein „kísérteties távoli hatásnak” nevezett. De ez a hatás valójában egyáltalán nem távoli, és még csak kísértetiesnek sem tűnik.

A közönséges eredetű kvantumrészecskék (mondjuk fotonok, a fény részecskéi, melyek mindketten egyetlen atomból származnak) kvantumkapcsolatot mutatnak, amely összekapcsolja a részecskékkel végzett bizonyos mérések eredményeit, még akkor is, ha azok fizikailag messze vannak egymástól. Rejtélyes? Lehet. De nem varázslatos. Ez fizika.

Végtelen-tangelment

Tegyük fel, hogy két bizonyító osztozik az összefonódott fotonpárokon. Meg tudják győzni a hitelesítőt arról, hogy érvényes bizonyítékkal rendelkeznek bizonyos problémákra vonatkozóan. De a rendkívül bonyolult problémák nagy csoportjánál, ez a módszer csak akkor működik, ha az ilyen összefonódott részecskék végtelen számban állnak rendelkezésre. Simán csak “sok”, nem elegendő belőlük, szó szerint korlátlan mennyiségre van szükség.

Egy hatalmas mennyiségű, de véges számú összefonódás még csak megközelíteni sem tudja a végtelen mennyiségű összefonódás erejét. Amint Emily Conover kifejti a Science Newsnak adott interjúban: 

“Ez a felfedezés bizonyítja néhány széles körben elterjedt matematikai sejtés hamis voltát. Az egyik, - mely Tsirelson problémája néven ismert, - kifejezetten azt sugallta, hogy egy elegendő mértékű kvantum összefonódás megközelítheti azt, amire a végtelen mennyiségű képes. Tsirelson problémája matematikailag egyenértékű egy másik nyitott problémával, amelyet Connes beágyazó sejtésének hívunk. Ez az operátorok algebrájához kapcsolódik, a matematikai kifejezések olyan fajtáihoz, amelyeket a kvantummechanikában a megfigyelhető mennyiségek ábrázolására használnak.”

A Connes-sejtés megcáfolása és annak bemutatása, hogy az MIP az összefonódással együtt, rendkívül bonyolult bizonyítások ellenőrzésére is használható, sokakat megdöbbentett a matematikai közösségben. (Olyan tudós is akadt, aki miután értesült erről, a székletét egy téglához hasonlította.) 

Kéne már az a kvantum PC

Az új eredmények valószínűleg nem gyakorolnak majd közvetlen hatást mindennapi életünkre. Egyfelől, - sajnos, - nem léteznek mindentudó bizonyítók, és ha lennének is, akkor is valószínűleg jövőbeli szuper-MI kvantumszámítógépek lennének, amelyek korlátlan számítási képességgel rendelkeznek, nem is beszélve  felbecsülhetetlen energiaigényükről. 

Senki sem tudja, hogyan kell ezt csinálni, még a Star Trek évszázadában sem. A felfedezésnek mindazonáltal  valószínűleg mélyebb következményei is lesznek a matematika, a számítógépes tudomány és a kvantumfizika szempontjából. Valószínűleg nem ez vet majd véget a kvantummechanika értelmezésének legjobb módszerei körül dúló vitákra, ahogy Scott Aaronson informatika-tudós, teoretikus megjegyzi az új megállapításról. De talán adhat valamilyen nyomot a “végtelen” természetére vonatkozóan.

Ez talán még hasznos is lehet valamilyen szempontból, például megvilágíthatja, hogy a végtelen jelentős szerepet játszik-e a valóságban, vagy pusztán egy ember alkotta délibáb, matematikai idealizáció.

Egy érme két oldala

Egy másik szinten, az új mű érdekes kérdést vet fel a matematika és a fizikai világ kapcsolatáról. A kvantumösszefonódás, egy (meglepő) fizikai jelenség létezése, valahogyan lehetővé teszi a matematikusok számára, hogy szigorúan matematikai értelemben vett problémákat oldjanak meg. 

A kérdés, hogy miért segít a fizika a matematikában, ugyanolyan szórakoztató lehet, mint a matematika ésszerűtlen hatékonyságának mérlegelése a fizika problémáiban.

Még az is elképzelhető, hogy egy nap az egyik majd megmagyarázza a másikat.

(Forrás: ScienceNews Képek: Pikrepo)