A mai, modern matematikafilozófia és szimbolikus logika Gottlob Frege munkásságával kezdődött, ami azonban nem volt kudarcok híján. Frege terve az volt, hogy az aritmetika (és erre támaszkodva a valós számok elmélete) fogalmait és tételeit alapozza meg logikai, illetve ismeretelméleti analízis segítségével. Magyarán a matematikát kívánta megalapozni a szimbolikus logika segítségével: megfeleltetést teremtett a formális kifejezések (például x=2) és a matematikai tulajdonságok (például páros számok) között. Frege modelljében így tehát bármilyen tulajdonságot szabadon használhatunk további tulajdonságok meghatározására.

Frege könyvének első kötete már megjelent (épp a másodikon dolgozott), amikor Bertrand Russell angol matematikus 1901-ben rámutatott ezen munka egy alapvető paradoxonára – ez lett aztán a Russell-paradoxonként ismert önellentmondás, ami aláhúzta a Frege által kidolgozott rendszer alapvető korlátait is.

A halmazelmélet megszületését Georg Cantor cikkének 1874-es publikálását tekinthetjük, mivel ez vezette be a Cantor-féle (naiv vagy intuitív) halmazelmélet fogalmait, amire aztán Frege munkássága is épült. Ahhoz viszont, hogy könnyebben megértsük Frege munkáját, valamint a Russell által felfedezett paradoxont, modern kifejezéseket használunk. A lényeg ezek után a következő:

Leírhatjuk a 4-es, 5-ös és 6-os számok halmazát úgy, hogy x egyenlő a 3-nál nagyobb és 7-nél kisebb egész számok halmazával, amelyeket n jelöl. A halmaz leírása formálisan így fest:

x = {n: n egész szám és 3 < n < 7}

A halmazban található objektumoknak azonban nem muszáj számoknak lenniük, elképzelhető, hogy

y = {x: x az Univerzum összes labdája}

A fenti esetben tehát minden labda, ami az Univerzumban található, része a halmaznak: az is, amit a Puskás Arénában rúgnak, és az is, ami egy homokozóban pihen a Balaton mellett.

Frege rendszerének a lényege ugyanis tehát éppen az volt, hogy az x bármilyen leírása kitöltheti a kettőspont utáni helyet – magyarul ha veszünk egy tulajdonságot, akkor különböző dolgokat e tulajdonság megléte alapján egy halmazba gyűjthetünk. Mindez olyan könnyen belátható, sőt egyértelmű, hogy Frege szerint már intuitive is igaz volt (innen is ered ezen halmazelmélet egyik elnevezése). Mindezzel azonban akadt egy probléma, amit tehát még Bertrand Russell (és tőle függetlenül Ernst Zermelo) fedezett fel, és amit Russell le is írt az 1903-ban publikált Principles of Mathematics című műben.

Érdekesség, de Russell még írt egy levelet is Fregenek, aki végül a második kötetet már úgy adta ki, hogy felhívta a figyelmet az elején egy külön jegyzetben a Russell által jelzett hibára. Magát a paradoxont pedig nagyon egyszerűen szemlélteti az alábbi videó, amit lentebb mi is összefoglalunk magyarul:

@average_joe_mcc Russells Paradox #math #learnontiktok #science #mathematics ♬ original sound - Average Joe

A problémára tehát itt egy egyszerű példa:

A = {1, 2, 3}

Ez tehát az A halmaz. Most pedig képzeljünk el nagyobb halmazt, amelynek része minden halmaz, ami az 1-et tartalmazza és jelöljük O-val:

O = {{{1}}, A, {1,2}...}

Magyarán az O halmaz része nem csak az 1, de minden halmaz, amiben az 1 szerepel, így az A halmaz, az 1-est és a 2-est tartalmazó halmaz, de akár az 1-est és Magyarország összes férfi lakosát tartalmazó halmaz is. Magyarán amíg a halmazban megtalálható az 1-es szám, mint tulajdonság, addig bekerülhet az O halmazba, amely esetén az egyetlen elvárás, hogy az abba kerülő halmazban szerepeljen az 1-es szám.

Létrehozható emellett az összes halmaz halmaza, az S.

S = {A, O …}

A S esetén az elvárt tulajdonság, hogy az adott eleme halmaz legyen, így S része például A halmaz, O halmaz, de akár egy üres halmaz is. Meg természetesen sok más halmaz is. Ami izgalmas kérdés, hogy S halmaz része-e saját magának (az önmagát elemként tartalmazó halmazt egyébként tartalmazkodónak nevezzük). Frege szerint ez tehát rendben van, mivel az S halmaz, így rendelkezik a szükséges tulajdonsággal. Magyarán a kérdés lefordítható úgy, hogy S halmaz tartalmazkodó vagy sem.

Mi a helyzet az összes tartalmazkodó halmazt tartalmazó halmazzal:

I = {S, I, … }

Mint látható, az összes tartalmazkodó halmazt tartalmazó halmaz része S, része I, ami még mindig rendben van, hiszen I tartalmazkodó, így része önmagának.

A gond akkor van, ha megvizsgáljuk azt a halmazt, ami az összes nem tartalmazkodó halmazt foglalja magában:

N = {A, O…}

Mint látható, a fenti halmazok közül A és O például nem tartalmazkodó halmazok, így részei N halmaznak. Mi a helyzet azonban az N halmazzal? Az N halmaz esetén két választás van szintén: tartalmazkodó vagy sem. Ha tartalmazkodó, akkor bekerül a halmazba, ahova viszont nem kerülhet be, mivel ez a nem tartalmazkodó halmazok halmaza. Azonban baj van akkor is, ha nem kerül be – ebben az esetben ugyanis N nem tartalmazkodó, így pedig be kellene kerülnie N-be, mivel ez az összes nem tartalmazkodó halmazt tartalmazza.

Minderre akad egy halmazelmélettől független, ismert szemléletes példa egy katonai borbéllyal:

“Tegyük fel, hogy a laktanya katonai borbélya a szolgálati szabályzatnak megfelelően azokat a katonákat köteles borotválni, akik maguk nem borotválkoznak, de nem borotválhatja azokat, akik maguk borotválkoznak. Kérdés: önmagát megborotválhatja-e? Ha megborotválja magát, akkor olyan katonának számít, aki maga borotválja magát, tehát a szolgálati szabályzat megtiltja, hogy megborotválkozzon. Ha ennek megfelelően nem borotválkozik, akkor a szolgálati szabályzat értelmében olyan katonának számít, akit borotválnia kell. Bármit is tesz tehát: akár megborotválja magát, akár nem, vét a szolgálati szabályzat ellen.”

Russell felfedezése alapjaiban rengette meg a matematikát, mivel így kiderült, hogy a hagyományos matematikai logika eszközeivel minden levezethető tétel tagadása is levezethető, vagyis bármi és bármi ellenkezője is bizonyítható, vagyis az elméket nem ér sokat.

A paradoxon megoldására több megoldás is született – az első magától Russell-től érkezett, aki Alfred North Whitehead segítségével dolgozta ki a tipizált halmazelméletet, vagy típuselméletet, amit azonban a matematikusok nehézkesnek és mesterkéltnek tartottak, így sosem lett különösebben népszerű. A másik, elfogadottabb megoldás azt a Cantor-féle naív halmazelméletet reformálta meg, amire tehát Frege munkája is épült, és ennek lett eredménye a modern axiomatikus halmazelmélet, ami lényegében úgy kerüli el a paradoxont, hogy nem engedi meg tetszőleges halmazok létrehozását.

(Forrás: Filozófiai Széljegyzetek, Simonyi András, Scientific American, Wikipedia, kép: Bertrand Russell, wikimedia.commons/Anefo)