Ez a hatalmas szám a Busy Beaver problémához kapcsolódik – ami egy látszólag egyszerű kérdés: hogyan dönthető el, hogy egy számítógépes program valaha leáll-e, vagy örökké futni fog?

A probléma gyökerei egészen Alan Turingig nyúlnak vissza, aki az 1930-as években vezette be a „Turing-gép” fogalmát – egy elméleti számítógépet. A gép egy végtelen hosszú szalagon dolgozik, amin szimbólumok szerepelnek (például 0 és 1), és egy olvasó-író fej segítségével egyesével olvassa, írja és módosítja ezeket. Minden lépésben az aktuális állapota és a látott szimbólum alapján dönt arról, hogy mit tegyen: átír-e valamit, elmozdul-e balra vagy jobbra, illetve milyen következő állapotba lép. Ez a működés meglepően hatékony: bármilyen algoritmus vagy program szimulálható vele, amit egy mai számítógép is végre tud hajtani.

A Busy Beaver probléma tehát arra vonatkozik, hogy adott számú állapottal vajon mi a legtöbb lépés, amit egy ilyen Turing-gép meg tud tenni, mielőtt megáll? Ahogy nő az állapotok száma, úgy válik a válasz egyre elképesztőbbé. A Busy Beaver-szám ugyanis döbbenetes gyorsasággal nő. A BB(1) értéke 1, a BB(2) 6, míg a 2024-ben kiszámolt BB(5) elképesztő módon már 47 176 870. Ezek a számok tehát olyan gyorsan nőnek, hogy hamar meghaladják nemcsak a mai számítógépek, de még a matematika hagyományos eszköztárának a lehetőségeit is.

A kutatók most a BB(6) értékét próbálják kiszámolni, amely jelenleg is ismeretlen. A problémán egy 2022-ben Tristan Stérin informatikus által alapított online közösség, a Busy Beaver Challenge dolgozik. Az egyik tag, „mxdys”, nemrég bebizonyította, hogy a BB(6) legalább olyan nagy, mint 2 tetrálva a 2-vel, majd az eredmény tetrálva a 9-cel – ez a szám annyira felfoghatatlanul nagy, hogy eltörpül mellette az egész világegyetemben található összes részecske száma is. Ez a növekedés messze meghaladja a hagyományos hatványozást: tetrálásról van szó, amely során a számokat többször egymás hatványaként értelmezik.

A Busy Beaver-számok azonban nem csupán a méretük miatt fontosak. Turing és Kurt Gödel is megmutatták, hogy bizonyos gépek viselkedését lehetetlen megjósolni a Zermelo–Fraenkel halmazelmélet (ZFC) keretein belül – márpedig ez a legtöbb ma is használt matematikai gondolkodás alapja. Ahogy Scott Aaronson, a Texasi Egyetem kutatója rámutat: a Busy Beaver probléma kézzelfoghatóvá teszi ezt az elméleti korlátot.

„Ahelyett, hogy csupán kijelentenénk: vannak Turing-gépek, amelyek meghaladjak a ZFC hatókörét, most már feltehetjük a kérdést: vajon ez már egy hatállapotú gép esetében is bekövetkezik?”

A BB(6) még a híres, mindmáig megoldatlan Collatz-sejtéshez is kapcsolódhat. A Collatz-sejtés egy egyszerű szabályon alapuló, máig megoldatlan matematikai probléma: válassz bármilyen pozitív egész számot, és ha páros, oszd el 2-vel, ha páratlan, szorozd meg 3-mal, majd adj hozzá 1-et; ismételd ezt a folyamatot újra és újra. A sejtés szerint minden kiindulási szám végül eljut az 1-hez, de ezt még senki sem tudta bizonyítani — ugyanakkor olyan számot sem találtak, amely ne térne vissza az 1-hez. Egyszerűsége ellenére a probléma rendkívül összetett, és a Busy Beaverhez hasonlóan arra világít rá, hogy bizonyos egyszerűnek tűnő rendszerek viselkedése kiszámíthatatlan lehet.

Stérin szerint a BB(6) kutatása segítségével felgördülhet a fátyol, és megpillanthatjuk a matematikai megismerés koponyaarcát, tehát azt a mezsgyét, amit a matematika már képtelen kezelni.

(Forrás: New Scientist, kép: Pixabay/geralt)