Az Amerikai Matematikai Társaság egyik folyóiratában nemrég megjelent cikkükben Claudia Fevola (Inria Saclay) és Anna-Laura Sattelberger (Max Planck Intézet) amellett érvelnek, hogy ugyanazok az algebrai és geometriai eszmék világíthatják meg az elemi részecskék világát és a kozmoszt is.

Kutatásaik középpontjában az algebrai geometria – azon belül a pozitív geometria – áll: egy olyan szemlélet, amely a matematika és a nagyenergiás elméleti fizika határterületén született. A pozitív geometria lényegében közös nyelvet kínál a legkisebb részecskéktől a teljes világegyetemig. A klasszikus megközelítésben a részecskeütközéseket Feynman-diagramokkal írjuk le, ami bonyolult számításokhoz vezet. A pozitív geometria ezzel szemben azt mondja: képzeljük el, hogy a jelenség megfelel egy magasabb dimenziós alakzatnak, és ennek a „testnek” a térfogata adja meg a keresett fizikai mennyiséget. Ennek legismertebb példája az amplituéder, amely a sok apró részszámítást egyetlen, áttekinthető geometriai feladatra cseréli.

Ez a gondolkodásmód a kozmológiában is hódít. A kozmikus mikrohullámú háttér fodrozódásai és a galaxisok eloszlása mintázatokat rejtenek, amelyeket ma már úgynevezett kozmológiai politópokkal – szintén „pozitív” alakzatokkal – modelleznek. Ezek „kanonikus formái” a fizikai összefüggéseket kódolják, és segítenek visszafejteni, milyen törvények uralták az univerzum legkorábbi pillanatait.

A háttérben több matematikai terület dolgozik össze. Az algebrai geometria egyenletek megoldásain keresztül írja le az alakzatokat; az algebrai analízis (D-modulok) rögzíti, milyen differenciálegyenletek szabják meg a vizsgált mennyiségeket; a kombinatorika pedig rendet tesz az előbukkanó diszkrét szerkezetekben. A részecskefizikai integrálok gyakran átalakíthatók kézre állóbb formára – például Mellin-transzformációval –, és végül néhány alapvető „mesterintegrálra” vezethetők vissza.

A legjobb az egészben, hogy sokszor kiderül: ezeknek az alap építőkockáknak a száma egybeesik egy egyszerű topológiai mérőszámmal, az Euler-karakterisztikával. Vagyis a tiszta geometria megmondja, hány darabból épül fel a fizikai számítás.

A pozitív geometria még fiatal terület, de nagy ígéretet rejt: nemcsak gyorsítja és letisztítja a számításokat, hanem egységes szemléletet is adhat a részecskefizika és a kozmológia számára. Ha beválik, közelebb vihet ahhoz, hogy a természet működését ugyanazzal a világos, geometriai nyelvvel értsük meg a kvarkoktól egészen a galaxisokig.